Производные сложных функций нескольких переменных. Функция двух переменных.Область определения и линии уровня
До сих пор нами рассматривалась простейшая функциональная модель, в которой функция зависит от единственного аргумента . Но при изучении различных явлений окружающего мира мы часто сталкиваемся с одновременным изменением более чем двух величин, и многие процессы можно эффективно формализовать функцией нескольких переменных , где – аргументы или независимые переменные . Начнём разработку темы с наиболее распространенной на практике функции двух переменных .
Функцией двух переменных называется закон , по которому каждой паре значений независимых переменных (аргументов) из области определения соответствует значение зависимой переменной (функции).
Данную функцию обозначают следующим образом:
Либо , или же другой стандартной буквой:
Поскольку упорядоченная пара значений «икс» и «игрек» определяет точку на плоскости , то функцию также записывают через , где – точка плоскости с координатами . Такое обозначение широко используется в некоторых практических заданиях.
Геометрический смысл функции двух переменных очень прост. Если функции одной переменной соответствует определённая линия на плоскости (например, – всем знакомая школьная парабола), то график функции двух переменных располагается в трёхмерном пространстве. На практике чаще всего приходится иметь дело с поверхностью , но иногда график функции может представлять собой, например, пространственную прямую (ые) либо даже единственную точку.
С элементарным примером поверхности мы хорошо знакомы ещё из курса аналитической геометрии – это плоскость . Предполагая что , уравнение легко переписать в функциональном виде:
Важнейший атрибут функции 2 переменных – это уже озвученная область определения .
Областью определения функции двух переменных называется множество всех пар , для которых существует значение .
Графически область определения представляет собой всю плоскость либо её часть . Так, областью определения функции является вся координатная плоскость – по той причине, что для любой точки существует значение .
Но такой праздный расклад бывает, конечно же, не всегда:
Как двух переменных?
Рассматривая различные понятия функции нескольких переменных, полезно проводить аналогии с соответствующими понятиями функции одной переменной. В частности, при выяснении области определения мы обращали особое внимание на те функции, в которых есть дроби, корни чётной степени, логарифмы и т. д. Здесь всё точно так же!
Задача на нахождение области определения функции двух переменных практически со 100%-ной вероятностью встретится вам в тематической работе, поэтому я разберу приличное количество примеров:
Пример 1
Найти область определения функции
Решение
: так как знаменатель не может обращаться в ноль, то:
Ответ : вся координатная плоскость кроме точек, принадлежащих прямой
Да-да, ответ лучше записать именно в таком стиле. Область определения функции двух переменных редко обозначают каким-либо символом, гораздо чаще используют словесное описание и/или чертёж .
Если бы по условию требовалось выполнить чертёж, то следовало бы изобразить координатную плоскость и пунктиром провести прямую . Пунктир сигнализирует о том, что линия не входит в область определения.
Как мы увидим чуть позже, в более трудных примерах без чертежа и вовсе не обойтись.
Пример 2
Найти область определения функции
Решение
: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
Ответ : полуплоскость
Графическое изображение здесь тоже примитивно: чертим декартову систему координат, сплошной линией проводим прямую и штрихуем верхнюю полуплоскость . Сплошная линия указывает на тот факт, что она входит в область определения.
Внимание! Если вам ХОТЬ ЧТО-ТО не понятно по второму примеру, пожалуйста, подробно изучите/повторите урок Линейные неравенства – без него придётся очень туго!
Миниатюра для самостоятельного решения:
Пример 3
Найти область определения функции
Двухстрочное решение и ответ в конце урока.
Продолжаем разминаться:
Пример 4
И изобразить её на чертеже
Решение
: легко понять, что такая формулировка задачи требует
выполнения чертёжа (даже если область определения очень проста). Но сначала аналитика: подкоренное выражением должно быть неотрицательным: и, учитывая, что знаменатель не может обращаться в ноль, неравенство становится строгим:
Как определить область, которую задаёт неравенство ? Рекомендую тот же алгоритм действий, что и при решении линейных неравенств .
Сначала чертим линию , которую задаёт соответствующее равенство . Уравнение определяет окружность с центром в начале координат радиуса , которая делит координатную плоскость на две части – «внутренность» и «внешность» круга. Так как неравенство у нас строгое , то сама окружность заведомо не войдёт в область определения и поэтому её нужно провести пунктиром .
Теперь берём произвольную
точку плоскости, не принадлежащую
окружности , и подставляем её координаты в неравенство . Проще всего, конечно же, выбрать начало координат :
Получено неверное неравенство
, таким образом, точка не удовлетворяет
неравенству . Более того, данному неравенству не удовлетворяет и любая точка, лежащая внутри круга, и, стало быть, искомая область определения – внешняя его часть. Область определения традиционно штрихуется:
Желающие могут взять любую точку, принадлежащую заштрихованной области и убедиться, что её координаты удовлетворяют неравенству . Кстати, противоположное неравенство задаёт круг
с центром в начале координат, радиуса .
Ответ : внешняя часть круга
Вернёмся к геометрическому смыслу задачи: вот мы нашли область определения и заштриховали её, что это значит? Это значит, что в каждой точке заштрихованной области существует значение «зет» и графически функция представляет собой следующую поверхность
:
На схематическом чертеже хорошо видно, что данная поверхность местами расположена над
плоскостью (ближний и дальний от нас октанты)
, местами – под
плоскостью (левый и правый относительно нас октанты)
. Также поверхность проходит через оси . Но поведение функции как таковое нам сейчас не очень интересно – важно, что всё это происходит исключительно в области определения
. Если мы возьмём любую точку , принадлежащую кругу – то никакой поверхности там не будет (т.к. не существует «зет»)
, о чём и говорит круглый пробел в середине рисунка.
Пожалуйста, хорошо осмыслите разобранный пример, поскольку в нём я подробнейшим образом разъяснил саму суть задачи.
Следующее задание для самостоятельного решения:
Пример 5
Краткое решение и чертёж в конце урока. Вообще, в рассматриваемой теме среди линий 2-го порядка наиболее популярна именно окружность, но, как вариант, в задачу могут «затолкать» эллипс , гиперболу или параболу .
Идём на повышение:
Пример 6
Найти область определения функции
Решение : подкоренное выражение должно быть неотрицательным: и знаменатель не может равняться нулю: . Таким образом, область определения задаётся системой .
С первым условием разбираемся по стандартной схеме рассмотренной на уроке Линейные неравенства : чертим прямую и определяем полуплоскость, которая соответствует неравенству . Поскольку неравенство нестрогое , то сама прямая также будет являться решением.
Со вторым условием системы тоже всё просто: уравнение задаёт ось ординат, и коль скоро , то её следует исключить из области определения.
Выполним чертёж, не забывая, что сплошная линия обозначает её вхождение в область определения, а пунктир – исключение из этой области:
Следует отметить, что здесь мы уже фактически вынуждены
сделать чертёж. И такая ситуация типична – во многих задачах словесное описание области затруднено, а даже если и опишите, то, скорее всего, вас плохо поймут и заставят изобразить область.
Ответ : область определения:
К слову, такой ответ без чертежа действительно смотрится сыровато.
Ещё раз повторим геометрический смысл полученного результата: в заштрихованной области существует график функции , который представляет собой поверхность трёхмерного пространства . Эта поверхность может располагаться выше/ниже плоскости , может пересекать плоскость – в данном случае нам всё это параллельно. Важен сам факт существования поверхности, и важно правильно отыскать область, в которой она существует.
Пример 7
Найти область определения функции
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.
Не редкость, когда вроде бы простые на вид функции вызывают далеко не скороспелое решение:
Пример 8
Найти область определения функции
Решение : используя формулу разности квадратов , разложим подкоренное выражение на множители: .
Произведение двух множителей неотрицательно , когда оба множителя неотрицательны: ИЛИ когда оба неположительны: . Это типовая фишка. Таким образом, нужно решить две системы линейных неравенств и ОБЪЕДИНИТЬ полученные области. В похожей ситуации вместо стандартного алгоритма гораздо быстрее работает метод научного, а точнее, практического тыка =)
Чертим прямые , которые разбивают координатную плоскость на 4 «уголка». Берём какую-нибудь точку, принадлежащую верхнему «уголку», например, точку и подставляем её координаты в уравнения 1-й системы: . Получены верные неравенства, а значит, решением системы является весь верхний «уголок». Штрихуем.
Теперь берём точку , принадлежащую правому «уголку». Осталась 2-я система, в которую мы и подставляем координаты этой точки: . Второе неравенство неверно, следовательно, и весь
правый «уголок» не является решением системы .
Аналогичная история с левым «уголком», который тоже не войдёт в область определения.
И, наконец, подставляем во 2-ю систему координаты подопытной точки нижнего «уголка»: . Оба неравенства верны, а значит, решением системы является и весь нижний «уголок», который тоже следует заштриховать.
В реальности так подробно расписывать, естественно, не надо – все закомментированные действия легко выполняются устно!
Ответ : область определения представляет собой объединение решений систем .
Как вы догадываетесь, без чертежа такой ответ вряд ли пройдёт, и это обстоятельство вынуждает взять в руки линейку с карандашом, хоть того и не требовало условие.
А это ваш орешек:
Пример 9
Найти область определения функции
Хороший студент всегда скучает по логарифмам:
Пример 10
Найти область определения функции
Решение : аргумент логарифма строго положителен, поэтому область определения задаётся системой .
Неравенство указывает на правую полуплоскость и исключает ось .
Со вторым условием ситуация более затейлива, но тоже прозрачна. Вспоминаем синусоиду
. В качестве аргумента выступает «игрек», но это не должно смущать – игрек, так игрек, зю, так зю. Где синус больше нуля? Синус больше нуля, например, на интервале . Поскольку функция периодична, то таких интервалов бесконечно много и в свёрнутом виде решение неравенства запишется следующим образом:
, где – произвольное целое число.
Бесконечное количество промежутков, понятно, не изобразить, поэтому ограничимся интервалом и его соседями:
Выполним чертёж, не забывая, что согласно первому условию, наше поле деятельности ограничивается строго правой полуплоскостью:
мда …какой-то чертёж-призрак получился… доброе приведение высшей математики…
Ответ :
Следующий логарифм ваш:
Пример 11
Найти область определения функции
В ходе решения придётся построить параболу , которая поделит плоскость на 2 части – «внутренность», находящуюся между ветвями, и внешнюю часть. Методика нахождения нужной части неоднократно фигурировала в статье Линейные неравенства и предыдущих примерах этого урока.
Решение, чертёж и ответ в конце урока.
Заключительные орешки параграфа посвящены «аркам»:
Пример 12
Найти область определения функции
Решение
: аргумент арксинуса должен находиться в следующих пределах:
Дальше есть две технические возможности: более подготовленные читатели по аналогии с последними примерами урока Область определения функции одной переменной
могут «ворочать» двойное неравенство и оставить в середине «игрек». Чайникам же рекомендую преобразовать «паровозик» в равносильную систему неравенств
:
Система решается как обычно – строим прямые и находим нужные полуплоскости. В результате:
Обратите внимание, что здесь границы входят в область определения и прямые проводятся сплошными линиями. За этим всегда нужно тщательно следить, чтобы не допустить грубой ошибки.
Ответ : область определения представляет собой решение системы
Пример 13
Найти область определения функции
В образце решения используется продвинутая техника – преобразуется двойное неравенство.
На практике также иногда встречаются задачи на нахождение области определения функции трёх переменных . Областью определения функции трёх переменных может являться всё трёхмерное пространство, либо его часть. В первом случае функция определена для любой точки пространства, во втором – только для тех точек , которые принадлежат некоторому пространственному объекту, чаще всего – телу . Это может быть прямоугольный параллелепипед, эллипсоид , «внутренность» параболического цилиндра и т.д. Задача отыскания области определения функции трёх переменных обычно состоит в нахождении этого тела и выполнении трёхмерного чертежа. Однако такие примеры довольно редкИ (нашёл у себя всего пару штук) , и поэтому я ограничусь лишь этим обзорным абзацем.
Линии уровня
Для лучшего понимания этого термина будем сравнивать ось с высотой : чем больше значение «зет» – тем больше высота, чем меньше значение «зет» – тем высота меньше. Также высота может быть и отрицательной.
Функция в своей области определения представляет собой пространственный график, для определённости и бОльшей наглядности будем считать, что это тривиальная поверхность. Что такое линии уровня ? Образно говоря, линии уровня – это горизонтальные «срезы» поверхности на различных высотах. Данные «срезы» или правильнее сказать, сечения проводятся плоскостями , после чего проецируются на плоскость .
Определение : линией уровня функции называется линия на плоскости , в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение: .
Таким образом, линии уровня помогают выяснить, как выглядит та или иная поверхность – причём помогают без построения трёхмерного чертежа! Рассмотрим конкретную задачу:
Пример 14
Найти и построить несколько линий уровня графика функции
Решение : исследуем форму данной поверхности с помощью линий уровня. Для удобства развернём запись «задом наперёд»:
Очевидно, что в данном случае «зет» (высота) заведомо не может принимать отрицательные значения (так как сумма квадратов неотрицательна) . Таким образом, поверхность располагается в верхнем полупространстве (над плоскостью ).
Поскольку в условии не сказано, на каких конкретно высотах нужно «срезать» линии уровня, то мы вольнЫ выбрать несколько значений «зет» на своё усмотрение.
Исследуем поверхность на нулевой высоте, для этого поставим значение в равенство :
Решением данного уравнения является точка . То есть, при линия уровня представляет собой точку .
Поднимаемся на единичную высоту и «рассекаем» нашу поверхность плоскостью (подставляем в уравнение поверхности) :
Таким образом, для высоты линия уровня представляет собой окружность с центром в точке единичного радиуса .
Напоминаю, что все «срезы» проецируются на плоскость , и поэтому у точек я записываю две, а не три координаты!
Теперь берём, например, плоскость и «разрезаем ей» исследуемую поверхность (подставляем в уравнение поверхности) :
Таким образом, для высоты линия уровня представляет собой окружность с центром в точке радиуса .
И, давайте построим ещё одну линию уровня, скажем, для :
– окружность с центром в точке радиуса 3 .
Линии уровня, как я уже акцентировал внимание, располагаются на плоскости , но каждая линия подписывается – какой высоте она соответствует:
Нетрудно понять, что другие линии уровня рассматриваемой поверхности тоже представляют собой окружности, при этом, чем выше мы поднимаемся вверх (увеличиваем значение «зет») – тем больше становится радиус. Таким образом, сама поверхность
представляет собой бесконечную чашу с яйцевидным дном, вершина которой расположена на плоскости . Эта «чаша» вместе с осью «выходит прямо на вас» из экрана монитора, то есть вы смотрите в её дно =) И это неспроста! Только я так убойно наливаю на посошок =) =)
Ответ : линии уровня данной поверхности представляют собой концентрические окружности вида
Примечание : при получается вырожденная окружность нулевого радиуса (точка)
Само понятие линии уровня пришло из картографии. Перефразируя устоявшийся математический оборот, можно сказать, что линия уровня – это географическое место точек одинаковой высоты
. Рассмотрим некую гору с линиями уровня 1000, 3000 и 5000 метров:
На рисунке хорошо видно, что левый верхний склон горы гораздо круче правого нижнего склона. Таким образом, линии уровня позволяют отразить рельеф местности на «плоской» карте. Кстати, здесь приобретают вполне конкретный смысл и отрицательные значения высоты – ведь некоторые участки поверхности Земли располагаются ниже нулевой отметки уровня мирового океана.
Предел функции двух переменных.
Понятие и примеры решений
Добро пожаловать на третий урок по теме ФНП , где наконец-то начали сбываться все ваши опасения =) Как многие подозревали, понятие предела распространяется и на функцию произвольного количества аргументов, в чём нам сегодня и предстоит разобраться. Однако есть оптимистичная новость. Она состоит в том, что при предел в известной степени абстрактен и соответствующие задания крайне редко встречаются на практике. В этой связи наше внимание будет сосредоточено на пределах функции двух переменных или, как мы чаще её записываем: .
Многие идеи, принципы и методы схожи с теорией и практикой «обычных» пределов, а значит, на данный момент вы должны уметь находить пределы и самое главное ПОНИМАТЬ, что такое предел функции одной переменной . И, коль скоро судьба привела вас на эту страничку, то, скорее всего, уже немало понимаете-умеете. А если и нет – ничего страшного, все пробелы реально заполнить в считанные часы и даже минуты.
События этого занятия разворачиваются в нашем трёхмерном мире, и поэтому будет просто огромным упущением не принять в них живое участие. Сначала соорудим хорошо известную декартову систему координат в пространстве . Давайте встанем и немного походим по комнате… …пол, по которому вы ходите – это плоскость . Поставим где-нибудь ось … ну, например, в любом углу, чтобы не мешалась на пути. Отлично. Теперь, пожалуйста, посмотрите вверх и представьте, что там зависло расправленное одеяло. Это поверхность , заданная функцией . Наше перемещение по полу, как нетрудно понять, имитирует изменение независимых переменных , и мы можем передвигаться исключительно под одеялом, т.е. в области определения функции двух переменных . Но самое интересное только начинается. Прямо над кончиком вашего носа по одеялу ползает маленький тараканчик, куда вы – туда и он. Назовём его Фредди. Его перемещение имитирует изменение соответствующих значений функции (за исключением тех случаев, когда поверхность либо её фрагменты параллельны плоскости и высота не меняется) . Уважаемый читатель с именем Фредди, не обижайся, так надо для науки.
Возьмём в руки шило и проткнём одеяло в произвольной точке, высоту которой обозначим через , после чего строго под отверстием воткнём инструмент в пол – это будет точка . Теперь начинаем бесконечно близко приближаться к данной точке , причём приближаться мы имеем право ПО ЛЮБОЙ траектории (каждая точка которой, разумеется, входит в область определения) . Если ВО ВСЕХ случаях Фредди будет бесконечно близко подползать к проколу на высоту и ИМЕННО НА ЭТУ ВЫСОТУ, то функция имеет предел в точке при :
Если при указанных условиях проколотая точка расположена на краю одеяла, то предел всё равно будет существовать – важно, чтобы в сколь угодно малой окрестности острия шила были хоть какие-то точки из области определения функции. Кроме того, как и в случае с пределом функции одной переменной , не имеет значения , определена ли функция в точке или нет. То есть наш прокол можно залепить жвачкой (считать, что функция двух переменных непрерывна ) и это не повлияет на ситуацию – вспоминаем, что сама суть предела подразумевает бесконечно близкое приближение , а не «точный заход» в точку.
Однако безоблачная жизнь омрачается тем фактом, что в отличие от своего младшего брата, предел гораздо более часто не существует. Это связано с тем, что к той или иной точке на плоскости обычно существует очень много путей, и каждый из них должен приводить Фредди строго к проколу (опционально «залепленному жвачкой») и строго на высоту . А причудливых поверхностей с не менее причудливыми разрывами хоть отбавляй, что приводит к нарушению этого жёсткого условия в некоторых точках.
Организуем простейший пример – возьмём в руки нож и разрежем одеяло таким образом, чтобы проколотая точка лежала на линии разреза. Заметьте, что предел всё ещё существует, единственное, мы потеряли право ступать в точки под линией разреза, так как этот участок «выпал» из области определения функции . Теперь аккуратно приподнимем левую часть одеяла вдоль оси , а правую его часть, наоборот – сдвинем вниз или даже оставим её на месте. Что изменилось? А принципиально изменилось следующее: если сейчас мы будем подходить к точке слева, то Фредди окажется на бОльшей высоте, чем, если бы мы приближались к данной точке справа. Таким образом, предела не существует.
И, конечно же, замечательные пределы , куда без них. Рассмотрим поучительный во всех смыслах пример:
Пример 11
Используем до боли знакомую тригонометрическую формулу , где и стандартным искусственным приёмом организуем первые замечательные пределы :
Перейдём к полярным координатам:
Если , то
Казалось бы, решение идёт к закономерной развязке и ничто не предвещает неприятностей, однако в самом конце существует большой риск допустить серьёзный недочёт, о характере которого я уже чуть-чуть намекнул в Примере 3 и подробно расписал после Примера 6. Сначала концовка, затем комментарий:
Давайте разберёмся, почему будет плохо записать просто «бесконечность» или «плюс бесконечность». Посмотрим на знаменатель: так как , то полярный радиус стремится к бесконечно малому
положительному значению: . Кроме того, . Таким образом, знак знаменателя и всего предела зависит только от косинуса:
, если полярный угол (2-я и 3-я координатные четверти: );
, если полярный угол (1-я и 4-я координатные четверти: )
.
Геометрически это означает, что если приближаться к началу координат слева, то поверхность, заданная функцией , простирается до бесконечности вниз:
Функции многих переменных
§1. Понятие функции многих переменных.
Пусть имеется n
переменных величин
.
Каждый набор
обозначает точкуn
-
мерного
множества
(п
-мерный
вектор).
Пусть даны множества
и
.
Опр
.
Если каждой точке
ставится в соответствие единственное
число
,
то говорят, что задана числовая функция
n
переменных:
.
называют областью определения,
- множеством значений данной функции.
В случае n
=2
вместо
обычно пишутx
,
y
,
z
.
Тогда функция двух переменных имеет
вид:
z = f (x , y ).
Например,
- функция двух переменных;
- функция трех переменных;
Линейная функция n переменных.
Опр
.
Графиком функции n
переменных называется n
-
мерная
гиперповерхность в пространстве
,
каждая точка которой задается координатами
Например, графиком
функции двух переменных z
=
f
(x
,
y
)
является
поверхность в трехмерном пространстве,
каждая точка которой задается координатами
(x
,
y
,
z
)
,
где
,
и
.
Поскольку график функции трех и более переменных изобразить не представляется возможным, в основном мы будем (для наглядности) рассматривать функции двух переменных.
Построение графиков функций двух переменных является довольно сложной задачей. Существенную помощь в ее решении может оказать построение так называемых линий уровня.
Опр . Линией уровня функции двух переменных z = f (x , y ) называется множество точек плоскости ХОУ , являющихся проекцией сечения графика функции плоскостью, параллельной ХОУ. В каждой точке линии уровня функция имеет одно и то же значение. Линии уровня описываются уравнением f (x , y )=с , где с – некоторое число. Линий уровня бесконечно много, и через каждую точку области определения можно провести одну из них.
Опр
.
Поверхностью уровня функции n
переменных y
=
f
(
)
называется гиперповерхность в пространстве
,
в каждой точке которой значение функции
постоянно и равно некоторому значениюс
.
Уравнение поверхности уровня: f
(
)=с.
Пример . Построить график функции двух переменных
.
.
При с=1:
;
.
При с=4:
;
.
При с=9:
;
.
Линии уровня – концентрические окружности, радиус которых уменьшается с ростом z .
§2. Предел и непрерывность функции многих переменных.
Для функций многих переменных определяются те же понятия, что и для функции одной переменной. Например, можно дать определения предела и непрерывности функции.
Опр
.
Число А называется пределом функции
двух переменных z
=
f
(x
,
y
)
при
,
и обозначается
,
если для любого положительного числанайдется положительное число,
такое, что если точка
удалена от точки
на расстояние меньше,
то величиныf
(x
,
y
)
и А отличаются
меньше чем на
.
Опр
.
Если функция z
=
f
(x
,
y
)
определена в точке
и имеет в этой точке предел, равный
значению функции
,
то она называется непрерывной в данной
точке.
.
§3. Частные производные функции многих переменных.
Рассмотрим функцию
двух переменных
.
Зафиксируем
значение одного из ее аргументов,
например
,
положив
.
Тогда функция
есть функция одной переменной.
Пусть она имеет производную в точке:
.
Данная производная
называется частной производной (или
частной производной первого порядка)
функции
пов точке
и обозначается:
;
;
;
.
Разность
называется частным приращением пои обозначается
:
Учитывая приведенные обозначения, можно записать
.
Аналогично определяется
.
Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующей независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю.
При нахождении частной производной по какому-либо аргументу другие аргументы считаются постоянными. Все правила и формулы дифференцирования функций одной переменной справедливы для частных производных функции многих переменных.
Заметим, что частные производные функции являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые называются вторыми частными производными (или частными производными второго порядка) исходной функции.
Например, функция
имеет четыре частных производных второго
порядка, которые обозначаются следующим
образом:
;
;
;
.
и
- смешанные частные производные.
Пример. Найти частные производные второго порядка для функции
.
Решение.
,
.
,
.
,
.
Задание .
1. Найти частные производные второго порядка для функций
,
;
2. Для функции
доказать, что
.
Полный дифференциал функции многих переменных.
При одновременном
изменении величин х
и у
функция
изменится на величину,
называемую полным приращением функцииz
в точке
.
Так же, как и в случае функции одной
переменной, возникает задача о
приближенной замене приращения
на линейную функцию от
и
.
Роль линейного приближения выполняетполный
дифференциал
функции:
Полный дифференциал второго порядка:
=
.
=
.
В общем виде полный дифференциал п -го порядка имеет вид:
Производная по направлению. Градиент.
Пусть функция
z
=
f
(x
,
y
)
определена в некоторой окрестности
точки M(x
,
y
)
и
- некоторое направление, задаваемое
единичным вектором
.
Координаты единичного вектора выражаются
через косинусы углов, образуемых вектором
и осями координат и называемых
направляющими косинусами:
,
.
При перемещении
точки M(x
,
y
)
в данном направлении l
в точку
функцияz
получит приращение
называемое приращением функции в данном направлении l .
Если ММ 1 =∆l , то
Т огда
О пр . Производной функции z = f (x , y ) по направлению называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения ∆l при стремлении последней к нулю:
Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в данном направлении. Очевидно, что частные производные ипредставляют собой производные по направлениям, параллельным осямOx и Oy . Нетрудно показать, что
Пример
.
Вычислить производную функции
в точке (1;1) по направлению
.
Опр . Градиентом функции z = f (x , y ) называется вектор с координатами, равными частным производным:
.
Рассмотрим скалярное
произведение векторов
и
:
Легко видеть, что
,
т.е. производная по направлению равна
скалярному произведению градиента и
единичного вектора направления.
Поскольку
,
то скалярное произведение максимально,
когда векторы одинаково направлены.
Таким образом, градиент функции в точке
задает направление наискорейшего
возрастания функции в этой точке, а
модуль градиента равен максимальной
скорости роста функции.
Зная градиент функции, можно локально строить линии уровня функции.
Теорема
.
Пусть задана дифференцируемая функция
z
=
f
(x
,
y
)
и в точке
градиент функции не равен нулю:
.
Тогда градиент перпендикулярен линии
уровня, проходящей через данную точку.
Таким образом, если, начиная с некоторой точки, строить в близких точках градиент функции и малую часть перпендикулярной ему линии уровня, то можно (с некоторой погрешностью) построить линии уровня.
Локальный экстремум функции двух переменных
Пусть функция
определена и непрерывна в некоторой
окрестности точки
.
Опр
.
Точка
называется точкой локального максимума
функции
,
если существует такая окрестность точки,
в которой для любой точки
выполняется неравенство:
.
Аналогично вводится понятие локального минимума.
Теорема (необходимое условие локального экстремума) .
Для того, чтобы
дифференцируемая функция
имела локальный экстремум в точке
,
необходимо, чтобы все ее частные
производные первого порядка в этой
точке были равны нулю:
Итак, точками
возможного наличия экстремума являются
те точки, в которых функция дифференцируема,
а ее градиент равен 0:
.
Как и в случае функции одной переменной,
такие точки называются стационарными.
) мы уже неоднократно сталкивались с частными производными сложных функций наподобие и более трудными примерами. Так о чём же ещё можно рассказать?! …А всё как в жизни – нет такой сложности, которую было бы нельзя усложнить =) Но математика – на то и математика, чтобы укладывать многообразие нашего мира в строгие рамки. И иногда это удаётся сделать одним-единственным предложением:
В общем случае сложная функция имеет вид , где, по меньшей мере, одна из букв представляет собой функцию , которая может зависеть от произвольного количества переменных.
Минимальный и самый простой вариант – это давно знакомая сложная функция одной переменной, производную которой мы научились находить в прошлом семестре. Навыками дифференцирования функций вы тоже обладаете (взгляните на те же функции ) .
Таким образом, сейчас нас будет интересовать как раз случай . По причине великого разнообразия сложных функций общие формулы их производных имеют весьма громоздкий и плохо усваиваемый вид. В этой связи я ограничусь конкретными примерами, из которых вы сможете понять общий принцип нахождения этих производных:
Пример 1
Дана сложная функция , где . Требуется:
1) найти её производную и записать полный дифференциал 1-го порядка;
2) вычислить значение производной при .
Решение
: во-первых, разберёмся с самой функцией. Нам предложена функция, зависящая от и , которые в свою очередь являются функциями
одной переменной:
Во-вторых, обратим пристальное внимание на само задание – от нас требуется найти производнУЮ , то есть, речь идёт вовсе не о частных производных , которые мы привыкли находить! Так как функция фактически зависит только от одной переменной, то под словом «производная» подразумевается полная производная . Как её найти?
Первое, что приходит на ум, это прямая подстановка и дальнейшее дифференцирование. Подставим в функцию :
, после чего с искомой производной никаких проблем:
И, соответственно, полный дифференциал:
Это решение математически корректно, но маленький нюанс состоит в том, что когда задача формулируется так, как она сформулирована – такого варварства от вас никто не ожидает =) А если серьёзно, то придраться тут действительно можно. Представьте, что функция описывает полёт шмеля, а вложенные функции меняются в зависимости от температуры. Выполняя прямую подстановку , мы получаем лишь частную информацию , которая характеризует полёт, скажем, только в жаркую погоду. Более того, если человеку не сведущему в шмелях предъявить готовый результат и даже сказать, что это за функция, то он так ничего и не узнает о фундаментальном законе полёта!
Вот так вот совершенно неожиданно брат наш жужжащий помог осознать смысл и важность универсальной формулы:
Привыкайте к «двухэтажным» обозначениям производных – в рассматриваемом задании в ходу именно они. При этом следует быть очень аккуратным
в записи: производные с прямыми значками «дэ» – это полные производные
, а производные с округлыми значками – это частные производные
. С последних и начнём:
Ну а с «хвостами» вообще всё элементарно:
Подставим найденные производные в нашу формулу:
Когда функция изначально предложена в замысловатом виде, то будет логичным (и тому дано объяснение выше!)
оставить в таком же виде и результаты:
При этом в «навороченных» ответах лучше воздержаться даже от минимальных упрощений (тут, например, напрашивается убрать 3 минуса)
– и вам работы меньше, и мохнатый друг доволен рецензировать задание проще.
Однако не лишней будет черновая проверка. Подставим в найденную производную и проведём упрощения:
(на последнем шаге использованы тригонометрические формулы
, )
В результате получен тот же результат, что и при «варварском» методе решения.
Вычислим производную в точке . Сначала удобно выяснить «транзитные» значения (значения функций )
:
Теперь оформляем итоговые расчёты, которые в данном случае можно выполнить по-разному. Использую интересный приём, в котором 3 и 4 «этажа» упрощаются не по обычным правилам , а преобразуются как частное двух чисел:
И, конечно же, грех не проверить по более компактной записи :
Ответ
:
Бывает, что задача предлагается в «полуобщем» виде:
«Найти производную функции , где »
То есть «главная» функция не дана, но её «вкладыши» вполне конкретны. Ответ следует дать в таком же стиле:
Более того, условие могут немного подшифровать:
«Найти производную функции »
В этом случае нужно самостоятельно
обозначить вложенные функции какими-нибудь подходящими буквами, например, через и воспользоваться той же формулой:
К слову, о буквенных обозначениях. Я уже неоднократно призывал не «цепляться за буквы», как за спасательный круг, и сейчас это особенно актуально! Анализируя различные источники по теме, у меня вообще сложилось впечатление, что авторы «пошли вразнос» и стали безжалостно бросать студентов в бурные пучины математики =) Так что уж простите:))
Пример 2
Найти производную функции , если
Другие обозначения не должны приводить в замешательство! Каждый раз, когда вы встречаете подобное задание, нужно ответить на два простых вопроса:
1) От чего зависит «главная» функция? В данном случае функция «зет» зависит от двух функций («у» и «вэ»).
2) От каких переменных зависят вложенные функции? В данном случае оба «вкладыша» зависят только от «икса».
Таким образом, у вас не должно возникнуть трудностей, чтобы адаптировать формулу к этой задаче!
Краткое решение и ответ в конце урока.
Дополнительные примеры по первому виду можно найти в задачнике Рябушко (ИДЗ 10.1) , ну а мы берём курс на функцию трёх переменных :
Пример 3
Дана функция , где .
Вычислить производную в точке
Формула производной сложной функции , как многие догадываются, имеет родственный вид:
Решайте, раз догадались =)
На всякий случай приведу и общую формулу для функции :
, хотя на практике вы вряд ли встретите что-то длиннее Примера 3.
Кроме того, иногда приходится дифференцировать «урезанный» вариант – как правило, функцию вида либо . Оставляю вам этот вопрос для самостоятельного исследования – придумайте какую-нибудь простенькие примеры, подумайте, поэкспериментируйте и выведите укороченные формулы производных.
Если что-то осталось недопонятым, пожалуйста, неторопливо перечитайте и осмыслите первую часть урока, поскольку сейчас задача усложнится:
Пример 4
Найти частные производные сложной функции , где
Решение
: данная функция имеет вид , и после прямой подстановки и мы получаем привычную функцию двух переменных:
Но такой страх не то чтобы не принято, а уже и не хочется дифференцировать =) Поэтому воспользуемся готовыми формулами. Чтобы вы быстрее уловили закономерность, я выполню некоторые пометки:
Внимательно просмотрите картинку сверху вниз и слева направо….
Сначала найдём частные производные «главной» функции:
Теперь находим «иксовые» производные «вкладышей»:
и записываем итоговую «иксовую» производную:
Аналогично с «игреком»:
и
Можно придерживаться и другого стиля – сразу найти все «хвосты» и потом записать обе производные.
Ответ
:
О подстановке что-то как-то совсем не думается =) =), а вот причесать результаты немножко можно. Хотя, опять же, зачем? – только усложните проверку преподавателю.
Если потребуется, то полный дифференциал
тут записывается по обычной формуле, и, кстати, как раз на данном шаге становится уместной лёгкая косметика:
Такой вот... ....гроб на колёсиках.
Ввиду популярности рассматриваемой разновидности сложной функции пара заданий для самостоятельного решения. Более простой пример в «полуобщем» виде – на понимание самой формулы;-):
Пример 5
Найти частные производные функции , где
И посложнее – с подключением техники дифференцирования:
Пример 6
Найти полный дифференциал функции , где
Нет, я вовсе не пытаюсь «отправить вас на дно» – все примеры взяты из реальных работ, и «в открытом море» вам могут попасться какие угодно буквы. В любом случае потребуется проанализировать функцию (ответив на 2 вопроса – см. выше) , представить её в общем виде и аккуратно модифицировать формулы частных производных. Возможно, сейчас немного попутаетесь, но зато поймёте сам принцип их конструирования! Ибо настоящие задачи только начинаются:)))
Пример 7
Найти частные производные и составить полный дифференциал сложной функции
, где
Решение
: «главная» функция имеет вид и по-прежнему зависит от двух переменных – «икса» и «игрека». Но по сравнению с Примером 4, добавилась ещё одна вложенная функция, и поэтому формулы частных производных тоже удлиняются. Как и в том примере, для лучшего вИдения закономерности, я выделю «главные» частные производные различными цветами:
И снова – внимательно изучите запись сверху вниз и слева направо.
Так как задача сформулирована в «полуобщем» виде, то все наши труды, по существу, ограничиваются нахождением частных производных вложенных функций:
Справится первоклассник:
И даже полный дифференциал получился вполне себе симпатичный:
Я специально не стал предлагать вам какую-то конкретную функцию – чтобы лишние нагромождения не помешали хорошо разобраться в принципиальной схеме задачи.
Ответ
:
Довольно часто можно встретить «разнокалиберные» вложения, например:
Здесь «главная» функция хоть и имеет вид , но всё равно зависит и от «икс», и от «игрек». Поэтому работают те же самые формулы – просто некоторые частные производные будут равны нулю. Причём, это справедливо и для функций вроде , у которых каждый «вкладыш» зависит от какой-то одной переменной.
Похожая ситуация имеет место и в двух заключительных примерах урока:
Пример 8
Найти полный дифференциал сложной функции в точке
Решение
: условие сформулировано «бюджетным» образом, и мы должны сами обозначить вложенные функции. По-моему, неплохой вариант:
Во «вкладышах» присутствуют (ВНИМАНИЕ!
) ТРИ буквы – старые-добрые «икс-игрек-зет», а значит, «главная» функция фактически зависит от трёх переменных. Её можно формально переписать в виде , и частные производные в этом случае определяются следующими формулами:
Сканируем, вникаем, улавливаем….
В нашей задаче:
Функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции нескольких переменных, их свойства. Частные производные, их свойства и геометрический смысл.
Определение 1.1. Переменная z (с областью изменения Z )называется функцией двух независимых переменных х,у в множестве М , если каждой паре (х,у ) из множества М z из Z.
Определение 1.2. Множество М , в котором заданы переменные х,у, называется областью определения функции , а сами х,у – ее аргументами .
Обозначения: z = f(x,y), z = z(x,y).
Замечание. Так как пару чисел (х,у ) можно считать координатами некоторой точки на плоскости, будем впоследствии использовать термин «точка» для пары аргументов функции двух переменных, а также для упорядоченного набора чисел , являющихся аргументами функции нескольких переменных.
Определение 1.3. . Переменная z (с областью изменения Z )называется функцией нескольких независимых переменных в множестве М , если каждому набору чисел из множества М по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z. Понятия аргументов и области определения вводятся так же, как для функции двух переменных.
Обозначения: z = f , z = z .
Геометрическое изображение функции двух переменных.
Рассмотрим функцию z = f(x,y) , (1.1)
Определенную в некоторой области М на плоскости Оху . Тогда множество точек трехмерного пространства с координатами (x,y,z) , где , является графиком функции двух переменных. Поскольку уравнение (1.1) определяет некоторую поверхность в трехмерном пространстве, она и будет геометрическим изображением рассматриваемой функции.
z = f(x,y)
Примерами могут служить изучаемые в предыдущем семестре уравнения плоскости
z = ax + by + c
и поверхностей второго порядка:
z = x ² + y ² (параболоид вращения),
(конус) и т.д.
Замечание. Для функции трех и более переменных будем пользоваться термином «поверхность в n -мерном пространстве», хотя изобразить подобную поверхность невозможно.
Линии и поверхности уровня.
Для функции двух переменных, заданной уравнением (1.1), можно рассмотреть множество точек (х,у) плоскости Оху , для которых z принимает одно и то же постоянное значение, то есть z = const. Эти точки образуют на плоскости линию, называемую линией уровня .
Найдем линии уровня для поверхности z = 4 – x ² - y ². Их уравнения имеют вид x ² + y ² = 4 – c (c =const) – уравнения концентрических окружностей с центром в начале координат и с радиусами . Например, при с =0 получаем окружность x ² + y ² = 4 .
Для функции трех переменных u = u (x, y, z) уравнение u (x, y, z) = c определяет поверхность в трехмерном пространстве, которую называют поверхностью уровня .
Для функции u = 3x + 5y – 7z –12 поверхностями уровня будет семейство параллельных плоскостей, задаваемых уравнениями 3x + 5y – 7z –12 + с = 0.